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要证BF=AF+FC，由于BF=BG+GF,BG=CF，所以就是要证AF=GF。
由BE=AC,∠ EAG=∠ACF（大圆中同弧），BG=CF知2个黄色三角形全等。所以EG=AF，即要证EG=GF，即证∠GEF=∠GFE。又∠BFE=∠BDE，∠BDE=∠BED，所以问题化为证∠GEF=∠BED。显然只要证∠FED=∠BEG。而∠BEG=∠FAC（由黄色三角形全等可得），∠FAC=∠FBC（大圆中同弧），∠FBC=∠FBD=∠FED(小圆中同弧)，所以∠BEG=∠FED成立。再往回推可得到结论。

依稀记得我初中训练的时候也有这道的……

我猜想你已经利用全等知道EG=AF
是我写错了，要证EG=GF，也就是∠GEF=∠EFG
∠EFG=∠EFB=∠EDB（同弧）=∠BED（BE=ED）
∠GEF=∠GED+∠DEF=∠GED+DBF（同弧）=∠GED+CBF=∠GED+CAF（大圆中同弧）
由于全等，知∠GEF=∠GED+∠CAF=∠GED+∠BEG=∠BED，
故∠GEF=∠EFG，得证
BF=BG+GF=CF+EG=AF+CF
我这样解释你应该看懂了吧