虚心请教：一道棘手的奥数题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/02 02:09:21
x=a+b-c
y=a+c-b
z=b+c-a
a,b,c为待定质数
若x2=y,根z-根y=2,求积abc所有可能值？？

x+y=2a
y+z=2c
x=z=2b

y=x^2得 x^2+x=2a
故有x^2+x-2a=0
故1+8a 是完全平方式
设起=Y^2
故8a=(m+1)(m-1)
整数分析得 a=3 b=11 c=17
abc=561

解：∵a+b－c=x, a+c－b=y, b + c－a =z ,
∴a= , b= , c= …………………5分
又∵ y=x2 , 故 a= ---(1);
b= -----(2)
c= ----(3)
∴x= ---------------(4)
∵x是整数，得1+8a=T2，其中T是正奇数。 ………………10分
于是，2a= ，其中a是质数，故有 =2， =a
∴T=5 ，a=3 ……………………15分
将a=3代入（4） 得 x=2或－3.
当x=2时，y=x2=4,
因而 －2=2， z=16 ，
代入（2）、（3）可得b=9 ，c=10，
与b、c是质数矛盾，当舍去。 ……………………………………20分
当x=－3时，y=9 . －3=2,
∴z=25
代入（2）、（3）可得 b=11，c=17
∴abc=3×11×17=561 ………………………………………25分