是数学应用题 拜托帮帮忙

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 08:50:46
在半径为10米的半圆内，建造一个面积最大的长方形场地（其中一边在直径上），问最大面积是多少？此时长，宽各为多少？
答案希望要详细 准确 拜托了各位~~

设长方形的宽为x，根据勾股定理，则长为2√100-x^2 (√为根号 ^2为二次方)
则长方形的面积为2x√100-x^2
设f(x)=2x√100-x^2 整理得√400x^2-4x^4
对 400x^2-4x^4 求导 得该式导函数为 800x-16x^3
令导数等于零求得 x=0(舍) x=+5√2 x=-5√2(舍)
所以当x=5√2 时原函数有最大值
代入 400x^2-4x^4 求得 该式值为 10000
开根号得长方形面积为 100平方米
此时长为10√2 宽为5√2

我也来不及算，但是我可以告诉你，这个长方形应该是一个正方形，是正方形的时候才会有最大面积。自己算一下吧。

设在直径上的边为X,另一边为Y
(X/2)²+Y²=R²=100
100=(X/2)²+Y²≥2(X/2*Y)=XY →基本不等式

S=XY≤100 最大面积为100

X/2=Y→X=10√2,Y=5√2

长10倍根号下2,宽是长的一半,此时面积20