启东数学竞赛

反证法.
假设变量X取一切整数时,存在函数值取非整数.
设f(x)=ax^2+bx+c
由题知: a+b+c 为整数
a-b+c 为整数
c 为整数.
所以 2a 为整数, 2b 为整数.

存在
f(x)=x(ax+b)+c 为非整数,
因为2(ax+b)为整数
则 x 必为奇数.

则ax+b为非整数 [1]

ax+b=a+b+(x-1)a
x-1 为偶数,
所以(x-1)a为整数
所以ax+b为整数 [2]

[1],[2]矛盾了.
所以假设不成立.

原命题得证.