复积分的作用

复变函数研究的中心对象是所谓解析函数，而解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明.例如，要证明“解析函数的导函数连续” 及“解析函数的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分.在复变函数的积分理论中，柯西积分定理和柯西积分公式尤为重要，它们是复变函数论的基本定理和基本公式.柯西积分定理是解析函数积分的理论基础，由柯西积分定理推出的柯西积分公式表明，一个在区域内的解析函数可以用一个积分来表达，即解析函数在区域内任意点处的值均可用它在边界上的值通过积分来表示出来，这说明解析函数的值与值之间是有密切联系的.用柯西积分公式又可证明解析函数的高阶导数公式.一个解析函数存在任意阶的导数，因而解析函数的导函数仍然是解析函数.可以说，复变函数的微分学是建立在积分学基础之上的，这和实变函数的情形绝然不同.因此复积分的运算具有十分重要的地位和意义