以正六边形的6个顶点及内的2007个定点作三角形,恰好完全分割成三角形区域,这样的三角形区域最多有几个?

显然是任意三点都不共线上三角形最多。
但由于没有重叠，所以它不是一道排列组合题。
其实这是一道归纳推理题。
可以这样想，将这2007个点依次放进这个六边形。
放进第一个时，和六条边连结后有六个三角形；
放进第二个时，因为是放在第一次形成的三角形里，就是原来的三角形变成了三个三角形，即1+2=3；
放进第三个时，将那个被放进的三角形又分为1+2=3个；
······依次类推
即为6+2+2+2+···+2（一共有2007-1=2006个2）
即为6+2006×2=4018个。