集合问题2

一般说,若集合中元素为n,则其子集数为2^n,非空子集数为2^n-1.可见题中集合M的非空子集数为2^2003-1.

解决关键是:分别求出所有非空集合中最大数之和以及最小数之和.

最大数之和求法:上述所有非空集合中,最大值是2003的集合数为2^2002(其中2^2002是集合

{1,2,3....2002}的子集数.),同理最大值是2002的集合数为2^2001,......最大值是1的集合数为2^0.

故最大数之和为2003*2^2002+2002*2^2001+2001*2^2000+......+1*2^0.

最小数之和求法:上述所有非空集合中,最小值是1的集合数为2^2002(其中2^999是集合

{2,3....1000}的子集数.),同理最小值是2的集合数为2^2001,......最小值是2003的集合数为2^0.

故最小数之和为1*2^2002+2*2^2001+3*2^2000+......+2003*2^0.

故易知所有最大数与最小数之和为2004*(2^2002+2^2001+2^2000+.....+2^0)=2004*(2^2003-1).

故算术平均值为2004*(2^2003-1)/(2^2003-1)=2004