设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:三个方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0不可能有两个

反证法 假设三个方程都有相等的实数根，
则4b^2-4ac=0, 4c^2-4ab=0, 4a^2-4bc=0
即b^2=ca, c^2=ab, a^2=bc
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
=0
当且仅当a=b=c时成立于a,b,c 互不相等矛盾
所以假设不成立，原命题成立

证明：ax^2+2bx+c=0①
bx^2+2cx+a=0②
cx^2+2ax+b=0③
①+②+③，得(a+b+c)(x+1)^2=0
所以x=-1是三个方程的公共解，所以-1必是任意2个方程的公共解。
由对称性，不妨设x=-1是方程①②的等根，则
a+c=2b
a+b=2c
相减得c-b=2b-2c,b=c矛盾。
其他情况类似可证。所以命题成立。