数学题，难难难~~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 02:56:25
设S是平面上一个有限集（含点数≥5），其中的若干个点涂上红色，其余点图上蓝色，设任何三个或三个以上的同色点均不共线，求证：存在一个三角形满足：⑴它的三个顶点涂有相同颜色；⑵这个三角形至少有一条边上不存在另一种颜色的点

考虑5个点

把5分成两个抽屉 由抽屉原理 至少三个点同色

又同色点均不共线 故 存在满足题设的三角形

考虑另一种颜色点最多的情况 不妨设红3 蓝2 三角形 ABC

假设蓝点m n 全部在三角形边上 由题意 红蓝点不重合

若m属于AB n属于BC 显然 AC无蓝色点
又ABC轮换 故m n分属两边时 都有另一边无蓝点

若只有一个点在边上，另一个点不在边上 ，显然也是成立的
两点都不在边上 更加成立

若一个点是蓝色

将前面证明过程中任意一个点换成红色 题设也是成立的

又蓝红轮换

故命题当含点数为5时 命题成立

考虑6个点 并且最一般的三红三蓝

若上述中AC边上有蓝点

那么 以蓝点为顶点构造三角形 则红点均不在三角形上

若点不在AC上 那么 总能找到一个点集的五元子集满足题设

这样当n>6时 总能找到一个五元子集 或者 上述六元子集 的 五元子集 满足题设

故题设成立

任取五个点 易证至少三个顶点涂有相同颜色
找出这3个顶点 假设它 不满足⑵ 则在同色三角形上可找到至少3个点 这3个点与另2个点又构成5个点 且这5个点比原5个点构成的凸包要小(包含在原凸包内)
再做同样的操作 可得最小的凸包 (因为S是平面上一个有限集) 而这5个点必定满足要求 否则可以找出更小的