高三复习数学向量！！！Q2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 15:04:30
已知a,b是非零向量，且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是
A.π/6
B.π/3
C.2π/3
D.5π/6
请告诉我详细过程，谢谢！！！
答案是B，请告诉我详细解题过程，谢谢！！！

B

(a-2b)⊥a，(a-2b)*a＝0，所以，a*a＝2a*b
(b-2a)⊥b，(b-2a)*b＝0，所以，b*b＝2a*b

所以，a*a＝b*b＝2a*b，得|a|＝|b|，a*b＝1/2×|a|^2

所以，cosθ＝(a*b)/(|a|×|b|)＝1/2，θ＝π/3

因为(a-2b)垂直a (b-2a)垂直b
所以a(a-2b)=b(b-2a)
a^2-2ab=b^2-2ab
>>> 即a模:b模=1 ①

又因(a-2b)⊥a
所以 a(a-2b)=(a的模的平方)减 <2*(a的模)*(b的模)*cos@> =0 ②
由①②得
cos@=(a的模)/2(b的模)=1/2 故选B