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2006年高考中的二次函数问题聚焦

衡南县第五中学 周厚忠

二次函数、二次方程、二次不等式之间的一一对应关系，使它们之间网络交汇，形成一种互为工具，优势互补，为应用二次函数简化解决综合问题提供了方法和依据，也成为06年高考数学命题的亮丽的风景线.
1创造使用条件确定二次函数的表达式
(重庆) 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x..
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0¬)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
思维展示
（Ⅰ） 认识对应法则和符合函数的意义，目标意识创造使用条件，特殊赋值切入，
因为对任意xεR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.；
赋值，若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）认识对应法则的唯一性切入，
因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.
由题设有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0.，所以对任意xεR，有f(x)- x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)= x0，所以x0- x =0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 –x. 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛盾，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为 f(x)= x2 –x+1（x R）.
【学习体验】
如何创造使