高中的一道数学题

设四边形ABCD是平行四边形, a=AB，b=BC，c=CD，d=DA，e=AC，f=BD
下面我用向量的方法证："a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2"<==>"ABCD是平行四边形",即为充要条件。
（注意：由于向量符号不能敲出来，下面字母上面都要加上箭头的）：
首先对于任意四边形有：a+b+c+d=0,a+b=e,b+c=f.
那么：d=-（a+b+c）
把d，e，f用a、b、c的表达式代入式子：a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2
<==>a^2+b^2+c^2+（a+b+c）^2=（a+b）^2+（b+c）^2
<==>2*（a^2+b^2+c^2）+2*（ab+bc+ac）=a^2+2*b^2+c^2+2*(ab+bc)
<==>a^2+c^2+2*ac=0
<==>(a+c)^2=0
<==>a=-c（a=AB，c=CD，即是说AB与CD平行且相等）
<==>ABCD是平行四边形

用余弦定理，对互补的两角，再加一下即得。