同济微积分课后习题问题

设函数f(x)在点x.处有连续的二阶导数，证明：
lim[f(x.+h)+f(x.-h)-2f(x.)]/h^2=f''(x.)

望能给出详细过程解答，因为我知道怎么下手做，但是在解答过程中有些极限问题暴露出来不太清楚，想看看大家的解题过程，对照自己的找一下毛病。
谢谢~~~
我一直做到最后一步得出答案为f''(x-h)就郁闷了半天，是不是直接f''(x-h)=f''(x)?

首先纠正：
“问题补充：我一直做到最后一步得出答案为f''(x-h)就郁闷了半天，是不是直接f''(x-h)=f''(x)?”中f''(x-h)是不存在的。函数在一个点上的导数里面是不会出现增量“h”的！

“sunshine王耀 ”在解答过程中的
lim[f(x)-f(x-h)]/h=？按照导数的定义应该为
lim[f(x)-f(x-h)]/h=lim[f(x-h)-f(x)]/-h
说明增量为-h，于是
lim[f(x)-f(x-h)]/h=lim[f(x-h)-f(x)]/-h=f'(x)
上式中的“-h”与导数定义“lim[f(x+h)-f(x)]/h”中的“h”实质上是一致的。

此题出现在教材第三章，而不是出现在第二章，这就让我们想到可能不能用第二章的知识来解！呵呵

正确解法：应用罗比达法则

lim[f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]/h^2 满足罗比达法则：分子、分母都趋于0。

于是lim[f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]/h^2

=lim[f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]’ /（h^2）’ = lim[f’(x+h)+f’(x-h))-2f’(x）] /2h

=(1/2) {lim[f’(x+h)-f‘(x)]/h-lim[f’(x)-f’(x-h)]/h}

=(1/2){ lim[f’(x+h)-f‘(x)]/h+lim[f’(x-h)-f’(x)]/-h}

=(1/2) {f”(x)+ f”(x)}= f”(x)

注意：
lim[f’(x-h)-f(x)]/-h在运算时又用到了：“-h”与导数定义“lim[f(x+h)-f(x)]/h”中的“h”实质上是一致的这一条。

数学这东西，理解实质很关键。有些貌似相同的东西，其实与我们看到的不同；而貌似不同的东西却跟定义是一致的，跟真理是一致的！！