UC知道3个可能有点麻烦的立体几何
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 17:12:13
1.若有一四面体恰有一条棱之长大于1,求证该四面体体积V<=1/8
2.等腰四面体ABCD中,若三角形ABC,三角形ACD,三角形ABD和底面BCD的二面角分别是a,b,c,求证tana^2+tanb^2+tanc^2>=24
3.正三棱锥P-ABC底面边长1,高PH为2,在此棱锥的内切球的上面(是上面)再放一个小内切球,依次类推放下去,求这些球的体积和 (答案是 4pai/111)
2.等腰四面体ABCD中,若三角形ABC,三角形ACD,三角形ABD和底面BCD的二面角分别是a,b,c,求证tana^2+tanb^2+tanc^2>=24
3.正三棱锥P-ABC底面边长1,高PH为2,在此棱锥的内切球的上面(是上面)再放一个小内切球,依次类推放下去,求这些球的体积和 (答案是 4pai/111)
1。思路是考虑棱长最长的边和它的对棱。
引理：四面体体积＝1／6＊对棱长代表向量的外积（对棱长的乘积乘以他们夹角的正弦值）＊公垂线的长度
设四面体ABCD中AB最长。AB、CD的公垂线EF垂直于AB于E，CD于F。
（1）AB，CD的夹角从0变到90度时（即将AB绕点E在垂直于EF的平面内旋转），四面体的体积变大，而除去AB的最长的棱长在变小。
（2）在AB垂直于CD的情况下，若AE<EB，那么把EA延长到EA'使得EA'=EB时最长的棱长保持不变。（AE<EB => AC<CB,AD<DB）
所以在题目所述情况下，体积最大的时候为最长棱AB垂直于CD且AB中点E，CD中点F确定的直线EF为AB、CD的公垂线。
设AB=2x,CD=2y，EF=h,于是在如上所述情况下，AD等其他4条棱长均为根号（x^2 + y^2 + h^2）。体积为V=2/3 * xyh。
最大体积的情况（临界）（CD，AD不可能都小于1）：
（一）y=1/2。此时由x^2 + h^2<=3/4得出体积V<=1/8。等号在x=h=根号（6）/4时取到。(AB边长为根号（6）/2，其他边长为1)
（二）AD=1。此时的最大值同上。
证毕。
2。什么是“等腰”四面体？
3。同1楼的，等比级数求和，但是我算的结果是内切球半径为1/4，这样级数的结果为PI/7
太有才了……您学竞赛的吧。。。竞赛题都发网上来问了。。我老了。。。。
我看看发现第三题简单。你放完了一次之后顶上是一个小的正三棱锥，跟原来的相似，这样写递推求和取极限就可以了。