已知以下三个二次方程有公共根:ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0, 求证:a+b+c=0

设公共根是m
则am^2+bm+c=0
bm^2+cm+a=0
cm^2+am+b=0
相加
(a+b+c)m^2+(a+b+c)m+(a+b+c)=0
(a+b+c)(m^2+m+1)=0
因为m^2+m+1=(m+1/2)^2+3/4>0，即不会等于0
所以a+b+c=0

三式相加
(a+b+c)x^2+(a+b+c)x+(a+b+c)=0
(a+b+c)(x^2+x+1)=0
x^2+x+1>0
所以
a+b+c=0

令那个公共根为m
则am^2+bm+c=0
bm^2+cm+a=0
cm^2+am+b=0
全部相加为
(a+b+c)m^2+(a+b+c)m+(a+b+c)=0
即(a+b+c)(m^2+m+1)=0
显然m^2+m+1绝对不等于0
则a+b+c=0成立．．．