一道高中奥数题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/04 14:31:07
a,b是正整数且a≠1，对任意正整数n，（a^n-1)整除（b^n-1).
求证：
b是a的正整数次幂（b可以表示为a^t的形式，t为正整数）。

我们知道(a-1)整除(a^n-1)的必要条件是:a是不为1的自然数,n是正整数.
也就是说,a是不为1的自然数,n是正整数,这两个条件缺一不可.

由题意,若b=a^t，t为正整数,则对于任意自然数n,都有(a^n-1)整除（b^n-1).

反证法,

假设t不是正整数,两个条件不同时具备,
则(a-1)不能整除(a^t-1),(根据开始的推论条件)
即(a-1)不能整除(b-1),
更不会有,对任意正整数n，（a^n-1)整除（b^n-1),
所以假设是不成立的,即t必须是正整数,
于是命题得到证明

重赏之下，必有勇夫！