严密的笔算开方

分太少了,我就简单说了,
比如654.321要开平方,开多次方是不行的.
先将数字从小数点向两边两位一组展开.
6 54 . 32 10
然后从高位试商,6最高为试商2,余数为2,
然后下一位试商,254除以4□,其中4为上一位试商的2*2.
试商6,46*6=276>254,失败,
改试商5,45*5=225,余数254-225=29,
下一位试商,2932除以50□,其中50为前两位试商的25*2.
试商5,505*5=2525,余数2932-2525=407,
下一位试商,40710除以510□,其中510为前三为试商的255*2.
试商8,5108*8=40864,余数40710 - 40864=-154<0,
失败,
试商7,
...
至此算得的结果为25.57…,
依次往下算,可以算到任何有效数字位.

以求√97为例．√97≈9.8488578018

1． √81<√97<√100，
设9+x=√97．展开为81+18x=97（舍去x^2），
解得x=8/9≈0.9，
设9.9+x=√97．展开为98.01+19.8x=97（舍去x^2），
解得x≈-0.05，
设9.85+x=√97，展开为97.0225+19.7x=97（舍去x^2），
解得x≈-0.0011，
故√97≈9.8489．

2．利用以下近似：f(x+Δx)≈f '(x)*Δx+f(x)，可取f(x)=√x
则有√(x+Δx)=Δx/(2√x)+√x，可将x分解为一个已知平方根的数
9^2=81;
√97=√(81+16)=16/(2*9)+9=9.89;

9.8^2=96.04;
√97=√(96.04+0.96)=0.96/(2*9.8)+9.8=9.8489;

9.85^2=97.0225;
√97=√(97.02