UC知道请教2个小问题，微积分的
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/22 16:06:33
2.一个函数f，如果有原函数，（即是另一个函数的导函数），那么这个函数f是未必可积的，因为可能无界
但如果一个函数既有原函数，又有界，那么是否可积？
这个问题我想不通
高手指教，谢谢！~
幸好不是清华数学系的那位匿名的老兄：
你第二次给出的例子，我想g并不是连续的。你观察在点x=2/3处右端的情况就知道了。而且一个函数不连续，还是有可能可积的。所以你最后一句复合函数fg在A1上不连续，因而不可积，是没有根据的。
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chenjiajiale：
能否把你的证明再详细写一下？
1。这样的例子不存在。
证明：
设f(u),g(x)分别是复合函数f(g(x))的外函数和内函数。由题,f(u)可积，g(x)连续。
由f(u)可积，设f(u)的不连续点的集合U，则m(U)=0，U至多可数。设u0属于U，则集合Eu0={x0|u0=g(x0)，f(g(x0))是f(g(x))的不连续点}的测度只能是0。否则，若m(Eu0)>0,则必有x轴(实数集R)上测度大于0的区间I属于Eu0，I中的每个内点x0都取值f(u0),从而f(g(x))在x0点连续,与Eu0的定义矛盾。设集合EU=Eu0的并集(u0属于U),则EU至多可数，从而m(EU)=0
设V是f(u)的所有连续点的集合。任取v0属于V,则对任意的x0，f(x0)=v0，f(g(x))在x0点连续。
从而EU是f(g(x))的所有不连续点的集合。
因为m(EU)=0,所以f(g(x))可积。
注1：实变函数Riemann可积的充要条件是不连续点的测度为0。本定理一般出现在在实变函数课程中。但徐森林的《数学分析》教材中有证明。可去图书馆参考。
绝对是Riemann可积的充要条件。你查查文献再问问题。
注2：证明的思想是，f(u)的连续点依然是f(g(x))的连续点；故f(g(x))的不连续点只能在f(u)的不连续点上。讨论f(u)的不连续点的定义域，可知，f(g(x))的不连续点的测度为0
注3：应该也能用分划的方法证明，只是麻烦
2.如果一个函数既有原函数，又有界，那么在闭区间上必然可积
证明：设f(x)在[a,b]上有界，存在[a,b]上的函数F'(x)=f(x)。
任取[a,b]的分划S:
a=x0<x1<...<xn=b
取标志点组e1,e2,...,en, x(i-1)<=ei<=xi。
则Riemann和为
E=sigma(f(ei)*(xi-x(i-1))) i=1,..,n
当|S|=max[xi-x(i-1)],i=1,...,n足够小时
F(xi)