已知函数 f(x)=a1x+a2x^2+....+anx^n,n是正整数,且f(1)=n^2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 11:37:20
已知函数 f(x)=a1x+a2x^2+....+anx^n,n是正整数,且f(1)=n^2

1.求数列a1,a2,an的通项公式
2．求证：f(1/3)<1

s(n)=f(1)=a1+a2+a3+a4+......+an=n^2
an=s(n)-s(n-1)=2n-1
A=f(1/3)=1*(1/3)+3*(1/3)^2+......+(2n-1)*(1/3)^n ....(1)
(1/3)A=1*(1/3)^2+3*(1/3)^3+.....+(2n-1)*(1/3)^(n+1) ..(2)
(1)-(2): 错位相减后,再用等比求和公式,即可证得f(3)<1

1、f(1)=Sn=n^2,a1=1,a2=3，an=Sn-S(n-1)=2n-1
2、f(1/3)=1/3+3/3^2+5/3^3+……+(2n-1)/3^n
(1/3)f(1/30=1/3^2+3/3^3+……+(2n-3)/3^n+(2n-1)/3^(n+1)
相减得(2/3)f(1/3)=1/3+2(1/3^2+1/3^3+……+1/3^n)-(2n-1)/3^(n+1)<1/3+
(2/9)/(1-1/3)=2/3
所以f(1/3)<1