函数以及集合的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/20 18:55:39
将正整数n写成若干个1与若干个2之和,和项的顺序不同认为是不同的写法,所有写法的种数记为A(n);将正整数n写成若干个大于1的正整数之和,和项顺序不同认为是不同的写法,所有写法的种数记为B(n),求证:A(n)=B(n+2)

第二数学归纳法：

1） n=1时 A(1)=1=B(3)

2）若命题对1，2，3...n都成立，则命题对n+1时：

A(n+1)=A(n)+A(n-1) 考虑第一个数，要么是1要么是2

B(n+3)=B(n+1)+B(n)+B(n-1)+...+B(2)+B(1)+B(0)

同样是考虑第一个数,第一个数至少是2。这里B(1)=0; B(0)=1

同理 B(n+2)=B(n)+B(n-1)+...+B(2)+B(1)+B(0)

所以 B(n+3)=B(n+1)+B(n+2)=A(n)+A(n-1)=A(n+1)

所以命题对n+1也成立！

证毕