猜想Sn=1/1*2+1/2*3,...,1/n*(n+1)的表达式,并用数学归纳法证明

Sn=1/1*2+1/2*3,...,1/n*(n+1)
=（1-1/2）+（1/2-1/3）+......+[1/n-1/(n+1)]
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)

用数学归纳法证:
当k=1时:S1=1/1*2=1/2 k/(k+1)=1/2 所以Sk=k/(k+1)
假设当k=n时成立,即:Sn=n/(n+1)
那么当k=n+1时,证明S(n+1)=(n+1)/(n+2)即可
S(n+1)=1/1*2+1/2*3,...,1/n*(n+1)+1/(n+1)(n+2)
=n/(n+1)+1/(n+1)(n+2)
=n(n+2)/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)
=(n^2+2n+1)/(n+1)(n+2)
=(n+1)^2/(n+1)(n+2)
=(n+1)/(n+2)
所以综上:Sn=n/(n+1)

o(∩_∩)o...

Sn=1-1/(n+1).
证明:
Sn=1/1*2+1/2*3,...,1/n*(n+1)
Sn=1-1/2 + 1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1).
由此可以看出中间项全部背抵消只剩下首项和尾项。
所以
Sn=1-1/(n+1)

不用数归发简单啊。 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+......+ 1/n-1 - 1/n + 1/n - 1/n+1=1- 1/n+1=n+1/n+1 - 1/n+1 =n/n+1 一般来说做数学我都是避开用数归法的，因为数归比较麻烦。

Sn=n/(n+1)
(1). n=1 时 S1=1/2 成立
(2). 假设n=k时猜想成立，即Sk=k/(k+1)
n=k+1时 S(k+1)=k/(k+1) + 1/(k+1)*(k+2)
S(k+1)=[k*(k+2)+1]/(k+1)(k+2)=(k+1)/(k+1+1)
满足假设
综上 Sn=n/(n+1)