香港、台湾、大陆三地的行政体系分别是如何运作的，它们的差异性在哪？

可以在很多个方面论述和比较。想比较全面至少得2000字。
简单理解：
香港-选举特区行政长官（目前还不是直选）-任命政府各机构负责人-组成政府
台湾-选举台湾地区领导人（称呼“总统”，直选）-任命台湾地区行政机构负责人（称呼“行政院长”）-再任命行政各部门负责人-组成政府
大陆-选举国家主席（全国人民代表大会）-依据主席提名选举国务院总理-依据总理提名选举各行政机构负责人（此二者选举结果由主席任命）-组成政府

运作：从上到下
差异：在不同的地方