几何题初中

取AB中点H，连接HF
因为∠FAB=∠EFC,AH=FC,∠AHF=∠FCE
所以△AHF≌△FCE
所以AF=FE

在AB上取一点P,使 BP=BF,连结PF
AP=AB-BP=BC-BF=CF
∠B=90°，BP=BF ∠
∠BPF=45°
∠APF=180°-∠45°=135°
∠CFE=90°+45°=135°=∠APF
∠PAF=∠AFB=∠AFB+∠EFC=90°
∠PAF=∠ECF
三角形APF≌三角形CFE
AF=EF

证明：过E作EG垂直于BC于G，则角EGF＝90度。
因为角AFC＝角BAF+角B=角BAF+90度（外角不会看不懂吧！）
且角AFC＝角EFC+角AFE＝角EFC+90度
所以角BAF＝角EFC（1）
因为ABCD是正方形
所以角DCG＝90度
又角DCE＝45度，所以角ECG＝45度
所以角GEC＝45度
则EG＝GC=BF（2）
又因为角ABF＝角EGF＝90度（3）
所以三角形ABF全等于三角形FGE
所以AF＝EF

过E作FC的垂线与其延长线交于点G，
则易知三角形ABF和三角形FGE相似（有一组直角相等，且角BAF和角GFE都是角AFB的余角所以也相等），
而AB=2BF,所以FG=2EG，
又因为角ECG为45度，可知EG=CG,所以FC=EG,
又因为BF=FC,所以EG=BF,且FG=AB.
这样，三角形ABF和三角形FGE全等，
所以AF=FE,证毕。