判断函数f(x)=（2x+3）\（x+1）的单调性

很简单，我用两种方法做，第一个方法不使用导数，第二个方法使用导数
解：设x1<x2
f(x2)-f(x1)=(2x2+3)/(x2+1)-(2x1+3)/(x1+1)
=[2+1/(x2+1)]-[2+1/(x1+1)]=1/(x2+1)-1/(x1+1)
=(x1-x2)/[(x1+1)(x2+1)]
由于x1,x2都不能等于-1,否则函数无意义
则
当-1<x1<x2时 f(x2)-f(x1)<0
当x1<x2<-1时 f(x2)-f(x1)<0
我们可以发现为什么不讨论x1<-1<x2的情况呢？
因为f(x)=(2x+3)/(x+1)=2+1/(x+1)在x=-1处是不连续的，并且其左右极限值都不存在，故是一个二类间断点。如果按照上面提到的情况根据函数的的图像可以比较容易得到f(x2)<f(x1)这显然意义不大了。
所以x1<x2的时候，f(x1)>f(x2)
此时函数单调递减
另解：f(x)=(2x+3)/(x+1)=2+1/(x+1)
则其导数为f'(x)=-1/(x+1)²<0
故此时函数单调递减
至于你提到的f(x)=-x²+|x|
解： 可以看作函数f1(x)=-x²+x
上面提到的函数先关于y轴将其右边对称到左边，去掉函数f1(x)的原来左边的图像来看待，这样就得到了f(x)的图像
当x<0时
f(x)=-x²-x 根据二次函数的单调性，其在[-1/2,0)单调递减，在(-∞,-1/2]单调递增
当x≥0时
f(x)=-x²+x 同样根据二次函数的单调性，其在[0,1/2]上单调递增，在[1/2,+∞)单调递减。

f(x)=（2x+3）\（x+1）
=(2x+2+1)/(x+1)
=2+1/(x+1)
因为1/(x+1)在(-无穷,-1)(-1,正无穷)是递减

所以f(x)在(-无穷,-1),(-1,正无穷)上单调递