函数有界问题

命题是对的
用中值定理 f(x1)-f(x2)=(x2-x1)*f'(k)，k是[x1,x2]之间一点
f(x)在(a,b)中任意两点上的函数值相差都不大于(b-a)*M，其中M为f的导数的上界

肯定是对的 啊
假设在(a,b)上f'(x)有界，n<f'(x)<m
f(x)=f(a)+f'(β)(x-β)
n<f'(β)<m,a<x-β<b
f'(β)(x-β)有界
所以f(x)=f(a)+f'(β)(x-β)有界

命题正确，f（x）在（a，b）上可导，必在（a,b）上连续，显然可以取（a,b）中的一点c，使得f（c）＝d（d是常数），由中值定理，f（x）在任意一点x的函数值，一定可以找到一个导数f’（e）使得f（x）-f（c）＝f’（e）（x-c），从而f（x）＝f（c）+f’（e）（x-c），因为f’（e）有界，所以f（x）有界，证明完毕。

举个例子吧 a=负无穷 b=正无穷 f(x)=x 导函数为g(x)=1(有界)

具体的证明过程 电脑上不好写.

应该是对的。
因为：由f(x)可导，因此其必连续。则f(a)-f(b)=f(?)*(b-a),(?为a b之间数)。又导数有界，因此原函数有界。