【初三几何】几何达人进！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 17:47:15
题目是这样的：如图，直线l经过⊙O，且交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q。问是否存在点P，使得QP=QO，若存在，满足上述条件的点有几个？若不存在，请说明理由。
P.S.参考有3个点P。
附图：https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/jingxueyou/pic/item/6c227cd1dacaac229a5027a0.jpg

给个过程啊！

对不起，由于本人能力有限，无法由几何法入手，用了高中知识解决的，并且书写困难，所以就简略了点，望见谅！！！
解：
以O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立之间坐标系xOy。
设圆的半径R=2，则C（√3,1）。
设P（x,0）,Q（x1,y1）,
则 向量PQ=（x1-x,y1）,向量OQ=（x1,x2）,向量CQ=（x1-√3,y1-1）,
而|PQ|=√((x1-x)^2+y1^2）=|OQ|=√(x1^2+y1^2),
∴x=2x1,或x=0,
当x=0时，P与O重合，舍去。
又 C、P、Q在同一直线上，
∴向量CQ=k向量PQ，
∴（x1-√3,y1-1）=k（x1-x,y1），
∴x1=x/2，y1=x/（2（x-√3）），
又 Q在圆上，
∴（x/2）^2+(x/（2*（x-√3））)^2=4,
∴x^4-2*√3x^3-12x^2+32√3x-48=0,
∴(x-2√3)(x^3-12x+8√3)=0,
∴x=2√3 或 x^3-12x+8√3=0,
当 x=2√3时，Q与C重合，舍去。（如果这点算的话，就有4个点符合。至于取舍就看你了。）
令 f(x)=x^3-12x+8√3,
而f(1)>0,f(2)<0,f(3)>0,f(-3)>0,f(-4)<0,
所以 f(x)=x^3-12x+8√3在(1,2),(2,3),(-3,-4)这三个区间内各有一个零点。
即 存在3个这样点P符合条件。
分别在OA线段内，OA延长线上，OB延长线上。

有三个满足条件的点P
一个在OA线段内
一个在OA延长线上
一个在OB延长线上

我就知道有一个