有理数的性质

有理数和无理数的性质主要有：

1. 两个有理数的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数；

2. 任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数；

3. 若a，b是有理数，是无理数，且，则a=0，b=0；

4. 若a，b，c，d都是有理数，是无理数，且，则有a=b，c=d。
举例如下：

例1. 设x、y是有理数，，求x、y的值。

解 原式可化为：

，

由性质4，知

解之，得x=2，y=1；或x=－2，y=－1。

例2. 已知a是自然数，方程，有正根m，求a的值。

解 将m代入方程并整理，得

。

因为a、m是有理数，是无理数，由性质3得

解之，得a=m=4（负值已舍去）。

例3. 已知a、b是正有理数，而是无理数，试证不能成立。

证明 假设成立，则

，

由于已知a、b均为正有理数，得是有理数。

又因为也是有理数，所以为有理数，即是有理数，这与已知矛盾。故不能成立。