有关函数可积与连续的问题

可积函数不一定连续，连续函数一定可积。

你说“如果不不连续的话，那不就在求面积的过程中出现断点了么，那面积不就不完整了么”，这个仅仅是现象，积分的本来含义是积分和的极限，对于连续函数来说，它刚好是面积，而对于非连续函数来说，用面积来解释就需要修正。实际上这里涉及到上积分和与下积分和的问题，再进一步，涉及到测度的问题，比较复杂。对于学高数的人来说，只要知道，有界函数可积就可以了。

我想你可能对定积分的理解有所偏误.
定积分实质上就是黎曼和的极限.对说连续的函数而言，他可以表示你所说的面积，但是对于不连续的函数它的黎曼和仍然可能存在极限，也就是说它仍然可能可积.
积分并不是一定要解决面积上问题，定积分的理论都是建立在黎曼和的基础上，它还有其他运用！
希望可以帮你