这里为什么要用动词不定式?

go on doing sth.指的是继续做某事（刚刚在做的事继续做）
go on to do sth.指的是继续做其它的事（不是刚刚在做的事）
句子的意思是，读完信，他开始写回信。如果用writing意思就是他刚刚就在写信，现在继续写。