正方形的一个问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/13 17:52:52
四边形ABCD是正方形,P是边CD上一点,BE垂直AP于E,AF垂直BP于F,DE与CF相交于点Q,证明:QA垂直QB
尽快，乱答的是GRD

复制楼上人家的解答的就是人家的儿子

图形很容易自己画出来的，左上开始，逆时针A、B、C、D

chinapy1990朋友的思路完全正确，我也是这个思路。
证明要点：
延长AF、BE分别交BC、AD于G、H.
显然∠ABH＝∠DAP，∠ABG＝∠ADP，AB＝AD，
所以△ABG≌△ADP
所以AH＝PD，
所以DH＝PC，
同理可证DP＝CG，PC＝BG
又因为∠PDH＝∠GCP，
所以△PDH≌△GCP
所以∠PHD＝∠GPC
因为∠PDH＝∠PEH＝90°
所以P、D、H、E四点共圆
同理P、F、G、C四点共圆
所以∠PHD＝∠PED＝∠AEQ，∠GPC＝∠GFC＝∠AFQ，
所以∠AEQ＝∠AFQ,
所以A、E、F、Q四点共圆
因为∠AEB＝∠AFB＝90°
所以A、E、F、B四点共圆
所以A、E、F、B、Q五点共圆
所以∠AQB＋∠AEB＝180°
所以∠AQB＝90°

供大家参考！

关键是证明Q,A,E,F,B五点共圆
容易证明A,B,F,E四点共圆
且AB是直径。
若Q,A,E,F,B5点共圆，则AQB=90，得证
现在证明QAEB四点共圆
只需证明角AQD=ABE
角ABE=DAE
只需证明AQD=DAE
若AQD=DAE
则三角形ADE相似于DAQ
只需证明AD^2=DE*DQ
只需证明CD^2=DE*DQ
只需证明三角形DEC相似于DCQ
只需证明角DEC=DCQ
还在想，仅提供一种思路

chinapy1990朋友的思路完全正确，我也是这个思路。
证明要点：
延长AF、BE分别交BC、AD于G、H.
显然∠ABH＝∠DAP，∠ABG＝∠ADP，AB＝AD，
所以△ABG≌△ADP
所以AH＝PD，
所以DH＝PC，
同理可证DP＝CG，PC＝BG
又因为∠PDH＝∠GCP，
所以△PDH≌△GCP
所以∠PHD＝∠GPC <