我该不该拿双倍工资？

应该可以拿，既然协议上说付双倍工资，那就拿双倍工资。

你是实习生，不是正式员工，不能办理正常的劳动合同关系，不属于劳动法调整的范围。你的要求是不合理的。

既然是实习，说明没有形成劳动关系嘛。
好多单位的实习生是没有薪水的，以交通补贴或者伙食补贴的形式给予一定的补助。
根据你的介绍，我认为你的要求不合理。

干嘛不拿。。自己的权利自己捍卫，加油

可以