UC知道线性代数达人请进！解题！
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 16:15:10
题目：设A与B均是n阶矩阵，且秩r（A）+r(B)<n,证明方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解。
解：设α满足：Aα=0,Bα=0
两式相加得(A+B)α=0
由r(A+B)=<r(A)+r(B)<n
所以r(A+B)<n
所以(A+B)α=0有非零解
证毕!
问这样做对不对?如果有误请说明，并将正确解法写下，先谢谢啦！
借问大师：我设Aα=0,Bα=0，无论如何，至少有α=0能使我的假设成立啊，最后我又证出α可以不为零，从而有非零公共解啊，为何不可以呢？
解：设α满足：Aα=0,Bα=0
两式相加得(A+B)α=0
由r(A+B)=<r(A)+r(B)<n
所以r(A+B)<n
所以(A+B)α=0有非零解
证毕!
问这样做对不对?如果有误请说明，并将正确解法写下，先谢谢啦！
借问大师：我设Aα=0,Bα=0，无论如何，至少有α=0能使我的假设成立啊，最后我又证出α可以不为零，从而有非零公共解啊，为何不可以呢？
显然错误
人家让你证:Ax=0与Bx=0有非零公共解。
你证的是：（A+B)α=0有非零解，而且用的条件也不对。
Aα=0,Bα=0 根本不是已知条件（事实上让你证明这个）。
正确的证明方法是利用解空间维数公式。
Ax=0的解空间维数=n-r（A）
Bx=0的解空间维数=n-r（B）
所以
Ax=0的解空间维数
+
Bx=0的解空间维数
>n
所以这两个解空间必有交集。
得证
*********
你根本就没证明“α可以不为零”
再说，就算你证出来了，证明的逻辑上也是错误的。
这个题目见过...
你要证的应该是
Ax=0
Bx=0这个方程组有解
你证明A+B作什么?楼上的证明如果你不理解的话
以下证明方法：
其实这个题目就是证明
(A)
(B)这个2n*n的矩阵方程组有非零解
也就是证明r(A,B)T<n就好了
设a1,a2,....ar是A的极大无关组,b1,b2,b3....bt为B的极大无关组
则(A,B)T可以用a1,a2,....ar,b1,b2,b3....bt线性表示
也就是r(A,B)T<=r(a1,a2,....ar,b1,b2,b3....bt)<=r(A)+r(B)<n
结束...