数论证明

1+2+3+...+n=n(n+1)/2=a^2
n^2+n-2a^2=0
则方程有整数解
判别式=1+8a^2是完全平方数
1+8a^2=b^2
b^2-8a^2=1
这是佩尔方程
最小解是b=3,a=1
所以通解是a=[(3+√8)^k-(3-√8)^k]/2√8
k=1,则a=1,n=1
k=2,a=6,a^2=36
k=3,a=35,a^2=1225
k=4,a=204,a^2=41616

所以后两个是1225和41616
通解是a=[(3+√8)^k-(3-√8)^k]/(2√8)

你题目有点问题吧。应该是：自然数序列中前两个既是三角数又是（平方数）的数为1，36.
解答如下：
三角数为：n*(1+n)/2 (将1+2+3+...+n求和）
若一个数既是三角数又是平方数，则：
n*(1+n)/2 =a^2，∴n*(1+n)=2a^2
而连续两个自然数的乘积的末位数只可能为：0，2，6
自然数的平方的末位数只可能为：1，4，5，6，9
∴2a^2的平方的末位数只可能为：0，2，8
要使n*(1+n)=2a^2成立，2a^2数的末位只可能是0或2，因此a^2的末位只能是：1或5或6
∴a的末位只能是1，4，5，6
下面由小到大分析a:
当a=1,2a^2=2=1*2，得到第一个既是三角数又是自然数的数a^2=1，
当a=4,2a^2=32, 不能分解为连续两个自然数的乘积
当a=5,2a^2=25, 不能分解为连续两个自然数的乘积
当a=6,2a^2=72=8*9，得到第二个既是三角数又是自然数的数a^2=36，

当a=11,2a^2=242，不能分解为连续两个自然数的乘积
当a=14,2a^2=2*14*14，不能分解为连续两个自然数的乘积
当a=15,2a^2=2*15*15，不能分解为连续两个自然数的乘积
当a=16,2a^2=2*16*16，不能分解为连续两个自然数的乘积