不等式证明：1+1/根下2+.....+1/根下n<2根下n

用归纳法。。
当n=1时，易证1+1/根下2<2根下2；
假设当n=n-1时不等式成立，即1+1/根下2+...+1/根下（n-1）<2根下（n-1），
那么当n=n 时有，1+1/根下2+.....+1/根下n
=1+1/根下2+...+1/根下（n-1）+1/根下n
〈2根下（n-1）+1/根下n
〈[2根下（n-1）*根下n+1]/根下n
〈（2n+1）/根下n
〈2n/根下n
=2根下n
不等式成立，所以假设成立。
得证。

1/根号k<2/(根号k+根号(k-1))=2(根号k-根号(k-1))
上式对k从2到n求和得1/根下2+.....+1/根下n<2(根号n-1)
所以1+1/根下2+.....+1/根下n<2*根号n-2+1<2根下n

因为1+1/根下2+.....+1/根下n
所以1+1/根下2+.....+1/根下n<2根下n