证明带有皮亚诺型余项的泰勒公式

我不知道你用的哪一本书，但是我猜你用的是我下面的证明方法。
首先明确一点，就是带皮亚诺型余项的泰勒公式相比带拉格朗日的条件要松一阶，拉格朗日要求f(x) n+1阶可导，而皮亚诺只需要n阶可导。

证明原理：构造一个多项式pn=Σ An*(x-x0)^n
假设构造出的pn与f（x）在x0处n阶相切，即二者在x0的原函数值与1~n阶的每一阶导数都想同，另设R=f(x)-pn,则只要证明，系数An与泰勒公式中的系数一致，且R为x→x0的（x-x0）^n的高阶无穷小即可。
相信你问这个问题的时候，系数An与泰勒公式中的系数一致这个问题你已经解决，其实就是展开，发现确实是一样的，利用f(n)(x）=p(n)n,第一个括号内代表第n阶导数。
那么第二步来了，只要证 R / ((x-x0)^n)在x→x0处极限为0，高阶无穷小的定义。
不难看出 R在x0处的极限为0，((x-x0)^n)在x0处极限也为0，所以可以用洛必达法则，但是这也是关键点，因为而皮亚诺只需要n阶可导，我们最多只能使用洛必达n-1次，使用了n-1次洛必达之后，我们发现lim R / ((x-x0)^n)=R（n-1）/ (n!(x-x0))=n! * lim R / ((x-x0)^n)=(R（n-1）-R(n-1)|x=x0)/ (n!(x-x0))=n! * R(n）=n！（f(n)(x）-p(n)n）=0，得证。而如果用n次洛必达，我们不知道n+1阶是可导的，所以无法证明R（n+1）=0.

余项，
因为余项仅仅表示无穷小的阶，作为o(x^n),只能说明o(x^n)/x^n->0
别的性质都不知道。

尤其是作为余项不一定可导。所以不能够使用L'Hospital法则.