二次函数、方程、不等式的关系3

x^2+mx+m^2+6m＜0恒成立
即f(x)=x^2+mx+m^2+6m在(0,2)内的最大值小于0

f(x)=(x+m/2)^2+3m^2/4+6m
对称轴x=-m/2，开口向上

若-m/2<0,m>0,则f(x)在对称轴右边，是增函数
所以f(x)<f(2)
所以f(2)=4+2m+m^2+6m<=0
m^2+8m+4<=0
-4-2√3<=m<=-4+2√3
所以0<m<=-4+2√3

若0<=-m/2<=1，-2<=m<=0,则对称轴在区间内，但2比0离对称轴更远
所以f(2)>f(0)
所以最大值也是f(2)
所以m^2+8m+4<=0
此时，-2<=m<=0

由上面可知，-m/2<=1时，都是f(2)最大
所以-m/2>1时，f(0)最大
所以-m/2>1,m<-2
则f(0)=0+0+m^2+6m<=0
-6<=m<=0
所以-6<=m<-2

综上
-6≤m≤-4+2√3

只要考虑x=0,和x=2时的值就可以了。列不等式m^2+6m<0,4+2m+m^2+6m<0，最后取交集-6<m<2√3-4.