Being cool is being popular.

因为在being之前已经有了动词is，所以需要用动名词being.就像He is talking.

去掉being并不影响意思，本身也是没有错的。

如果真要说区别，可以这样理解：
Being cool is being popular.
耍酷就是装流行
Being cool is popular.
耍酷就是流行

差别仅在于是否要强调“变得（装）”这个概念
差别不大的。

在英语中，两个动词不能以原形连一起，除非有一个是情态动词。所以要么中间加to，要么变为ing 形式，这个加to显然不合适。因此ing

第二个being可以去掉，popular作表语

装酷就是流行

being cool is popular.这句话是没有语法错误的，意思是耍酷是流行的。（流行耍酷）popular做宾语。这句话的侧重点应该是在强调being cool
而being cool is being popular.侧重点在强调being popular。
你可以这样理解：装酷就是在装流行（翻译有点蹩脚）自己意会一下吧~~
仅供参考~