（专家来）一道数学竞赛题（在线等）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 15:13:09
定义F（X）的值为其每个位数的平方和（其中X为正整数），如F（123）=1^2+2^2+3^2=14 ；
令数列 Xn+1=F（Xn）
证明：不管X1何值，这个数列有周期性。

另外有想法或者疑问的发消息给我啊，这题难~

结论1：若x≥1000，则F(x)<x.
证：设x是n位数(n≥4),
则F(x)≤n*9^2=81n<100*10^(n-3)=10^(n-1)≤x.

结论2：若x<1000,则F(x)<1000.
证：x<1000,F(x)≤3*9^2=243<1000.

不管X1何值，由结论1，总有正整数m,使Xm<1000,
再由结论2，从Xm开始，所有的项都小于1000，
由抽屉原理，X(m),X(m+1),...,X(m+999)这1000个小于1000的正整数中一定有两数相等，
一旦有X(i)=X(i+k),
那么X(i+k+1)=X(i+1),X(i+k+2)=X(i+2),...
数列就从X(i)开始出现循环。

很难，我才初3