UC知道2008年高中数学联赛2试第2题第2问
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 14:54:51
二试 第2题 （2） 另解：
因为1和T都是函数f(x)的周期， 0<T<1，
所以(1-T)也是f(x)的周期.
又 T是无理数，所以T和(1-T)中必有一个大于1/2，所以不妨设T小于1/2（若T大于1/2则选(1-T)进行讨论，结果没有影响）
设1=K1*T+R1，K1>=2，0<R1<T，
则R1为无理数且R1为f(x)的周期。
由于R1为f(x)周期，T为f(x)周期，所以（T-R1）也是f(x)周期，不妨设R1>T-R1
设T=K2*R1+R2，K2>=2, 0<R2<R1
则R2为无理数且R2为f(x)的周期。
由于R2为f(x)周期，R1为f(x)周期，所以（R1-R2）也是f(x)周期，不妨设R2>R1-R2
设R1=K3*R2+R3，K3>=2, 0<R3<R2
则R3为无理数且R3为f(x)的周期。
如此进行下去，可以分出R1，R2，--- ，Rn，使得R1>R2>R3---
令an=Rn,则数列an满足条件。
这样解有漏洞吗？漏洞在哪里？怎样解决？
非常感谢回答
但是为什么不能保证取到呢？
5*根号2>1呀
因为1和T都是函数f(x)的周期， 0<T<1，
所以(1-T)也是f(x)的周期.
又 T是无理数，所以T和(1-T)中必有一个大于1/2，所以不妨设T小于1/2（若T大于1/2则选(1-T)进行讨论，结果没有影响）
设1=K1*T+R1，K1>=2，0<R1<T，
则R1为无理数且R1为f(x)的周期。
由于R1为f(x)周期，T为f(x)周期，所以（T-R1）也是f(x)周期，不妨设R1>T-R1
设T=K2*R1+R2，K2>=2, 0<R2<R1
则R2为无理数且R2为f(x)的周期。
由于R2为f(x)周期，R1为f(x)周期，所以（R1-R2）也是f(x)周期，不妨设R2>R1-R2
设R1=K3*R2+R3，K3>=2, 0<R3<R2
则R3为无理数且R3为f(x)的周期。
如此进行下去，可以分出R1，R2，--- ，Rn，使得R1>R2>R3---
令an=Rn,则数列an满足条件。
这样解有漏洞吗？漏洞在哪里？怎样解决？
非常感谢回答
但是为什么不能保证取到呢？
5*根号2>1呀
好像没漏洞吧，但是比较麻烦，看着吃力
我觉得这样比较简单：作数列an如下:
a1=T,a(n+1)=an*{1/an}
其中{1/an}表示1/an的小数部分。
这样的数列就满足题目要求，lz不难自己验证一下
这个证法其实跟标准答案是一样的
本质上思想和带余除法是一样的
只不过是实数的罢了
标答得也是基于这种想法
只不过是表述成了高斯函数
不过应该用归纳法来叙述更好
并且用归纳法证明数列中的项都是周期
但这应该影响不大
1=K1*T+R1，K1>=2，0<R1<T，T小于1/2.
这么一直下去,不能确保一定找得到.
例如取K1=5,T=根号2.就不能满足
你可能说我能取到满足,但是后面所有的R1，R2，--- ，Rn却不能全部保证!
都说T<1了，哪来根号2
我也觉得这样没什么漏洞