初等数论

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 08:16:21
1.设p是大于5的质数，证明：p^4 ≡1(mod 240)
提示：可能用到欧拉定理.
2.设p是大于3的质数，证明：a^pb≡b^pa(mod 6p) (a,b为正整数）
提示：可能用到费马定理.
3.求10^10+10^(10^2)+10^(10^3)+...+10^(10^10)被7除的余数.
提示：可能用到欧拉定理.

一共三道题目，谁先做出来分就给谁！明天早上一早我来看！

1.
分解240=3*5*16, phi(3)=2, phi(5)=4,而对于16，使用Carmichael公式，得lambda(16)=4
因为大于5的质数p与3,5,16互质，所以p^2≡1≡p^4(mod 3), p^4≡1(mod 5), p^4≡1(mod 16),即p^4≡1 (mod 3*5*16=240). Q.E.D.
2.
如果题目为求证a^(pb)≡b^(pa)，那么应该有问题（可以用a=2,b=5,p=7验证其不正确），如果是(a^p)*b≡(b^p)*a(mod 6p)，就可以证明。
首先分解6p=2*3*p，而显然ab*a^(p-1)≡ab*b^(p-1) (mod 2)->可以分别以a≡0,1, b≡0,1来讨论；对mod 3，因为p-1为偶，所以a^(p-1)≡0或1，b^(p-1)≡0或1，于是ab*a^(p-1)≡ab*b^(p-1) (mod 3)；再根据Fermat's Little Theorem，a^(p-1)≡b^(p-1)，于是ab*a^(p-1)≡ab*b^(p-1) (mod p)。
所以ab*a^(p-1)≡ab*b^(p-1) (mod 2*3*p=6p) Q.E.D.
3.
10≡3(mod 7)，而3^6≡1(mod 7)；10≡4(mod 6)，而4^（任何数）≡4(mod 6)。
所以原题≡10*3^4≡5(mod 7)。

感觉LZ应该会这些题，不是么？:)

明天晚上你再来吧````