UC知道多项式相减的因式分解
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 00:04:10
今天偶尔被一同学问到立方差公式
回答完突然想到了由特殊到一般
于是经过自己思考，发现了自认为正确的多项式差的因式分解通式
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当n为奇数时
a^n-b^n
=(a-b)[b^n+ab^(n-1)+a^2b^(n-2)+……+a^(n-2)b^2+a^(n-1)b+a^n]
当n为偶数时
这个暂时没用公式表示
语言表述为(a+b)(a-b)与n-2次方展开式的偶数次项（即不含有奇数次的项，去掉系数）
==========================================================
问题：
1.公式是否正确？
2.可否证明之？
好的+分，先20分敬上
回答完突然想到了由特殊到一般
于是经过自己思考，发现了自认为正确的多项式差的因式分解通式
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当n为奇数时
a^n-b^n
=(a-b)[b^n+ab^(n-1)+a^2b^(n-2)+……+a^(n-2)b^2+a^(n-1)b+a^n]
当n为偶数时
这个暂时没用公式表示
语言表述为(a+b)(a-b)与n-2次方展开式的偶数次项（即不含有奇数次的项，去掉系数）
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问题：
1.公式是否正确？
2.可否证明之？
好的+分，先20分敬上
呵呵，差一点点就对了。这个是有公式的，一般奥数书里都有。
公式是（n为正整数）：
a^n-b^n=(a-b)[a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+...+b^n]
将右边展开，可以消去许多同类项，然后就等于左边了。
顺便告诉你，还有一个公式和这个类似(n为自然数)：
a^(2n+1)+b^(2n+1)=(a+b)[a^2n-a^(2n-1)b+a^(2n-2)b^2-a^(2n-3)b^3+...+b^2n]
证明方法和上面那个一样，都是将右边展开，可以发现许多项被消去，就得到左边。注意，右边的正负号是奇数项为正，偶数项为负。
错了，(a-b)[b^n+ab^(n-1)+a^2b^(n-2)+……+a^(n-2)b^2+a^(n-1)b+a^n] ，a和b都是n+1次了
a^n-b^n
=(a-b)[b^(n-1)+ab^(n-2)+……+a^(n-2)b+a^(n-1)]
可以用等比数列求和公式求得
b^(n-1)+ab^(n-2)+……+a^(n-2)b+a^(n-1)是以a/b为公比的等比数列