【在线等待】高一函数题目

若a=0,那么x1=-c/b=-x2,与x1≠x2矛盾,所以a≠0
将x1,x2代入方程得到ax1²+bx1+c=0,-ax2²+bx2+c=0
从而bx1+c=-ax1²,bx2+c=ax2²
构造f(x)=a/2*x²+bx+c,
那么f(x1)=a/2*x1²+bx1+c=a/2*x1²-ax1²=-ax1²/2
f(x2)=ax2²/2+ax2²=3ax2²/2
所以f(x1)*f(x2)=-3a²x1²x2²/4<0
因此在f(x)=0在(x1,x2)之间至少有一根.
假设f(x)=0两根都在(x1,x2)之间,通过二次函数的图像可以看出,无论a>0或a<0都有f(x1)*f(x2)>0,与f(x1)*f(x2)<0矛盾
所以方程a/2×x^2+bx+c=0有仅有一根介于x1和x2之间

说明:定理:对于任意连续函数f(x),若有f(a)*f(b)<0,那么f(x)=0至少有一根介于a,b之间.
这条定理可以通过作图直观看出来,严格代数证明很复杂,不过一般可以直接使用,当年高斯证明代数基本定理时也是直接使用这条结论的.