圆的方程题目

(1)因为直线过A(0,a)且与圆E(x-2)²+y²=1交于B,C两点，设直线为y=kx+a
B(x2,y2) C(x3,y3),P点满足BP:PC=AB:AC,设P(x1,y1)
根据圆的图像和其与直线的位置关系 可以得到 1<x2<x1<x3<3
直线y=kx+a代入圆E的方程(x-2)²+y²=1
得到 (1+k²)x²+2(ka-2)x+a²+3=0
根据根与系数的关系得到：x2+x3=2(2-ka)/(1+k²) x2*x3=(a²+3)/(1+k²) (*)
容易知道如下结论
BP=|x2-x1|√(k²+1) PC=|x3-x1|√(k²+1)
AB=|x2|√(k²+1) AC=|x3|√(k²+1)
由于BP:PC=AB:AC根据上面结论
得到|x2-x1|/|x3-x1|=|x2|/|x3|
去掉绝对值符号整理得到
x1(x2+x3)=2x2*x3
将(*)代入上式，得到x1=(a²+3)/(2-ak) (a)
由于P点满足直线方程y=kx+a
故有 y1=kx1+a (b)
(a)(b)两式整理消去k
得到P的轨迹方程
2x-ay=3
其中1<x<3
(2)根据(1)得到轨迹方程2x-ay=3
又知道圆E的方程(x-2)²+y²=1
代入圆E的方程整理得到 (a²+4)x²-4(3+a²)x+9+3a²=0要求必须有两个实数跟
这样根的判别式△=4(a²+3)a²>0 从而要求a≠0
设M(x1,y1) N(x2,y2)
则|x1-x2|=√[(x1+x2)²-4x1*x2]=2|a|(a²+3)/(a²+4)
MN=|x1-x2|√