解析几何求解

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解：1，设A点（x1，y1），B点（x1，y1）M点为（x，y）
所以L²=（x1 –x2）²+（y1-y2）²……….①
而点M 2x= （x1 +x2）， 2y=（y1 +y2）
而点AB在抛物线x²=2py上，
所以x1²=2py1 ………………② x2²=2py2……………. ③
由②+③得：（x1 +x2）²-2x1x2=2p（y1 +y2）即2x²-x1x2=2py…………..④
将②③带入①得
L²=（x1 –x2）²+（1/4p²）（x1²-x2²）²
即得L²=（x1 +x2）²-4x1x2+（1/4p²）（x1+x2）²{（x1+x2）²-4 x1x2}
则L²=4x²-4x1x2+（1/p²）x²（4x²-4x1x2）……⑤
将④带入⑤得
L²=（8py-4x²）{1+（1/p²）x²}
即M得轨迹方程为L²=（8py-4x²）{1+（1/p²）x²}
2）由M得轨迹方程L²=（8py-4x²）{1+（1/p²）x²}化简得
y=1/8p{p²L²/（p²+x²）+4x²}
要求M到x轴最短距离，则就是求y的最小值
y=1/8p{p²L²/（p²+x²）+4x²}=y=1/8p{p²L²/（p²+x²）+4（x²+p²）-4p²}
≥1/8p{4p²L²-4p²}=p（L²-1）/2
仅当p²L²/（p&