同じアニメを何回も见てしまった

这里不是『ました』而是 『しまう』

『しまう』跟在动词连用て形（这里即动词『见る』的连用形『见て』）后则表示行为终止或结束，多数都是表示不太好的结果。
『见てしまう』
后面的しまう是五段动词，变为连用た型表动作完成时会变成
『しまった』

这句意思就是
『结果同一个动画看了N遍』

楼主可能还不具备相关的语法和词汇知识，我认为上面的句子对于你来说还是有点难度的，建议还是先经过一些系统的学习再增大阅读量吧。

另：
1楼bssさん所说的『缩写』其实是错误概念。
『しまう』是动词终止形，即原形（字典上就是这种形式的）。

而把它变为连用型时要遵循五段动词的规则将词尾变为同行『い』段假名，『しまい』后续表示礼貌的助动词『ます』形成『しまいます』这种礼貌表达。

再将助动词『ます』变为连用型『まし』后续表示过去和动作完结的助动词『た』，最终变为表示过去的礼貌语『しまいました』。

所以这里根本不是缩写不缩写的问题，而是是否用礼貌表达方式的问题。

しまった是しまいました的缩写,表示一种后悔,惋惜,失误等的情绪

一楼和二楼的对於句义的解释是没有问题的.二楼的DPVF先生太过於语法的纠缠了,其实我也认为是简语,缩写.那个词一般是说过去的事情的,所以只能有过去式,所谓的『しまいます』这种礼貌表达,也是不存在的.看来是有人搞错了---概念.