数学考试题一道

圆心在直线y=-2x上
所以设圆心是(a,-2a)
(x-a)^2+(y+2a)^2=r^2
圆和直线x+y=1相切
所以圆心到直线距离等于半径
|a-2a-1|/√(1^2+1^2)=r
|a+1|/√2=r
所以r^2=(a+1)^2/2
所以(x-a)^2+(y+2a)^2=(a+1)^2/2
把A代入
(2-a)^2+(2a-1)^2=(a+1)^2/2
a=1
所以(x-1)^2+(y+2)^2=2

把y=2x-2代入
x^2-2x+1+4x^2=2
5x^2-2x-1=0
x1+x2=2/5,x1x2=-1/5
所以(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=24/25
(y1-y2)^2=[(2x1-2)-(2x2-2)]^2=[2(x1-x2)]^2=96/25
所以AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=24/5
AB=2√30/5

有点难度啊

给你一点提示：
圆过点A，点A在直线x+y=1上，圆与直线相切，则与直线只有一个交点即切点，所以切点只能是点A；
另外，圆心在直线y=-2x上，圆心到切点的线段（半径）应与切线垂直。所以过点A做直线x+y=1的垂线，与直线y=-2x的交点即为圆心，从而得到圆的方程。
剩下的 自己算算。

解：验证A(2,-1)满足直线x+y=1,所以A就是切点
过A点与x+y-1=0垂直的直线方程为y+1=1(x-2)
即：x-y=3
此直线与y=-2x的交点就是圆心(1,-2)
半径为圆心到A点的距离根号2
圆的方程为：（x-1)^2+(y+2)^2=2
圆心为（1，-2）圆心到AB的距离为：2/根号5
半径为根号2 由勾股定理可得 AB/2=根号下（4/5
+2） 所以AB=(根号下70)/5