陀螺稳定性与角动量守恒是否有关?

有关，这涉及到进动与章动的进一步知识。
详细的讨论比较的麻烦，涉及到空间三维半活动坐标系的建立与移动角动量空间的拉格朗日方程。书面不好表述，
详细参考 : 陈世民
北京高等敎育出版社 2001 理论力学简明敎程
关于陀螺问题的相关讨论
最后推出3个方程，有一个就是角动量守恒。

有，我记得高教的那本蓝书《理论力学》上对陀螺稳定性有详细的演算。你可以查一下，但最好等你学完普物再说。

陀螺受到非轴向力的时候不是就倒下去了,而是会发生进动,也就是假如他的旋转轴是z轴，你给他一个x轴方向的力，它会产生一个y方向的运动，然后轴偏离z轴，旋转轴绕z轴转动，非常奇妙。电子在磁场下也会发生进动，区分出正负1/2自旋，不过我学得不是太明白

是的，陀螺的稳定性与角动量守恒有关！

应该有关,但关系不大

应该有