We've missed the last bus.I'm afraid we have no choice but to take a taxi.

but后面要跟to do sth 省略to 的情况是BUT前有DO 或do的任何时态。
Eg: I could do nothing but wait. 这里就省略了TO， 因为BUT前有DO， 其他情况当BUT的这种用法， 不能省略TO。

不可省略
I'm afraid we have no choice but to take a taxi.
我怕我们没得选,只能坐出租车了.
...but to take a taxi
but是转折,后接to do,表示改动作是将要做的

have no choice but to 是个固定句型，字面意思是“除了...之外，别无选择”，可以译为“不得不做某事”。

have chance to do sth
不可省，不定式表方式状语

个人觉得不能
have no choice sth to do
是个短语吧

have no choice but to 固定用法