f(x)=arctan x,求f(0)的n阶导

1.级数法：
y^(n)=[1/(1+x^2)]^((n-1))
=[∑{0≤k<∞}(-1)^k*x^(2k)]^((n-1))=
=∑{0≤k<∞}(2k)(2k-1)...(2k-n+2)(-1)^kx^(2k-n+1).
其中 -1<x<1.

2.
y=f(x)=arctanx
y'=1/(1+x^2)
y''=-(1+x^2)'/(1+x^2)^2
=-2x/(1+x^2)^2
y^(3)=[-2(1+x^2)^2+2x[(1+x^2)^2]']/(1+x^2)^4
=[-2(1+2x^2+x^4)+8x^2+8x^4]/(1+x^2)^4
=2(3x^2-1)/(1+x^2)^3
y^(n)很难观察出规律,舍去

3递推法：
(1+x^2)y'=1
==>
(1+x^2)y^(n)+(n-1)(1+x^2)'y^((n-1))+(n-1)(n-2)/2(1+x^2)''y^((n-2))=
=0
==>
(1+x^2)y^(n)+2(n-1)x*y^((n-1))+(n-1)(n-2)y^((n-2))=0.
令x=0
解得:
y^(n)|x=0=-(n-1)(n-2)y^(n-2)|x=0
所以
(n=2m)
y^(n)|(x=0)
=0
(n=2m+1)
y^(n)|(x=0)
=(-1)^m*(2m)!

f(0)=arctan 0(常数)
因为
常数的导数为0
所以
f(0)的n阶导=0