一个不定式后又加个doing是何语法？

你说的这种应该不是不定式了 .to 在不定式中叫小品词，后面必须跟动词原形；而对与一些本身就带有to的固定短语或者搭配，to 在其中是介词，后面要跟动词ing形式；因为在英语里介词后面的动词要用动词ing形式，叫做介词宾语。举两个例子，I want to do homework now.这个句子中由于want 要求带动词不定式，这里所以是用do;另一个句子: I look forward to getting your reply.在这个句子中就不叫动词不定式后面 带doing了。而是因为look forward to 是一个固定短语，to 在这里是介词。
前面老兄说的"be used to doing"也是固定搭配，to 是介词，带动名词宾语。

您说的是“be used to dong sth.”吗？
这是“习惯于做某事”的意思！

我见过一个，be used to doing 习惯于做某事。He was used to walking to school.他习惯于走着去上学

I like to go shopping with my friends on Sundays.
to go动词不定式 shopping做to go的逻辑宾语
doing结构常可反串名词角色，充当to do不定式的逻辑宾语